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5.2 轴外结构
图5显示了光线映射优化后洗墙灯透镜表面3维CAD模型与预计的照度分布。考虑到如光轴与目标面高的倾斜角度、光源到目标面短的距离及目标面上均匀照度分布（2.8*2.8m2）等有难度的配置，我们选择在方形区域中心2m*2m处，y轴横截面强度变化小于10%，x轴横截面强度变化小于30%。X和y强度值的不对称源于光学元件相对于目标面的倾斜。最后，蒙特卡罗模拟显示超过78%的光源光功率转移到了目标面上，包含菲涅尔损失，因此，说明了本透镜设计具有非常高的光学效率。因为光源锥角太宽导致菲涅尔损失较大（总的光学效率减少到70%），未能达到想要的目标照度分布。
图5.（a）自由光学曲面线框图 (b)洗墙灯蒙特卡洛光线追迹后照度分布
6.比较一个自由曲面和两个自由曲面的菲涅尔损失
图.6 二维光学系统的曲线图 (a)1个被激活自由曲面偏转光线 (b)2个被激活的自由曲面可减少菲涅尔损失
为了评估透镜的菲涅尔反射损失，我们已经知道了光源光线到目标点的映射，同时也知道了其几何形状。建立单个被激活的自由曲面，第一个透镜面选为半球面，其中心点在点光源位置上，如图6所示，第一面没有提供任何的光线偏转，第二面必须执行整个光线映射。相反的，如果使用2个自由曲面，光线沿着第一个面偏转，如图6中所示。
为了分析菲涅尔反射，光线原本想透射出表面但被反射回去的光线均认为是菲涅尔损失。
对于离轴洗墙灯的情况（如图6b所示），在两个面的偏转角度平均分配前提下计算表面面型。菲涅尔损失是光线总的反射损失，可由菲涅尔公式给出[11]。图7分别计算了使用1个自由曲面及两个自由曲面的菲涅尔反射。
图.7 （a）菲涅耳反射是入射角在光学表面的函数（Rin是光线进入透镜的反射率，Rout是光线离开透镜的反射率；S是垂直偏振光，P是平行偏振光，没有添加偏振态的平均值）；（b）是两个有效透镜表面与单个有效表面系统的菲涅尔损失随捕获角度的变化。
透镜的总菲涅尔损失也取决于光源可捕获的角度，高的光学效率需要高的捕获角。随捕获角度的变化两面系统菲涅尔损失几乎是常量。这是由于两自由曲面系统中每一个面的入射角度没有超过特定的临界值，超过此值菲涅尔反射显著增大（图 7（b））。在目前例子下，最大入射角度典型的低于30度，这与单个自由曲面的例子形成了强烈的对比，它在第二个透镜面最大的入射角非常接近于全反射，因此显示了非常高的菲涅尔损失。
两有效面总的菲涅尔损失在8%至10%左右，非常接近于正入射的损失，然而单个有效面的最小值在15%左右。由于相当大的扰度作用，单个有效面透镜小的捕获角造成了菲涅尔损失强劲增长，而大扰度是指引光线到目标面的边缘区所必需的。在第5部分计算得到菲涅尔损失与这里估算出来的结果相当吻合。
7. 结论
我们演示了一个新的两步光学设计算法，直接由提供的初步结果使用多自由曲面调整照度分布。这种算法计算速度快（在当今的台式算机上几分钟即可完成计算），并在一般照明应用上验证了其适用性和实际意义。第一步主要计算从光源光线到目标点的映射，随后最佳化使其无旋度，在第二步中，使用从目标面映射提取光线位置计算光学面。当然，这个模式同样适用于反射元件，本文没有进一步的深入。
使用该算法，有可能直接的调整多面光学系统（在本文中，我们用了双边自由曲面）获得了近似于预先确定照度分布，而同时可捕获从光源发出的大部分光线。增加多曲面自由度可用来减小菲涅尔损失，包含加工上的约束以及减小零件尺寸。
参考文献
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8. F. R. Fournier, W. J. Cassarly, and J. P. Rolland, “Fast freeform reflector generation using source-target maps,” Opt. Express 18, 5295–5304 (2010).
9. L.-C. Evans, “Partial differential equations and Monge-Kantorovich mass transfer,” tech. rep., Department of Mathematics, University of California, Berkeley (2001).
10. “FRED Software - Optical Engineering,” http://www.photonengr.com.
11. W. Born and E. Wolf, ”Basic properties of the electromagnetic field,” in Principles of Optics 7th ed. (Cambridge University Press, 1999), pp. 41–42
注释：
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模拟太阳光在不同位置、不同时间以及一系列环境因素如大气气溶胶厚度、大气可降水量、表面压强等对接受面照度影响。
无级次限制的衍射光栅效率计算。
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